射影定理结论巧记及证明
2024-04-29 11:36:39479人浏览
现在的初中课本上并没有射影定理,但是很多老师都会额外讲一下,很多同学都有这样一种感觉:当时明明记住结论了,但是过几天就搞不清楚到底是谁的平方等于谁乘谁了,那怎样才能准确地记住射影定理,再也忘不掉呢?其实只需要一句口诀。
一、射影定理
如图,在RT△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,则有如下结论:
①AC²=AD·AB
②BC²=BD·AB
③CD²=AD·BD
这三个结论就叫做射影定理。
二、助记口诀
树平方=影乘积
把AC看作树,光线沿CD方向照射的影子是AD,光线沿CB方向照射的影子是AB;
把BC看作树,光线沿CD方向照射的影子是BD,光线沿CA方向照射的影子是AB;
把CD看作树,光线沿CA方向照射的影子是AD,光线沿CB方向照射的影子是BD.
三、证明
三个结论都可以通过相似来证明,图中的三个三角形都彼此相似,任意两个相似三角形可得出一个结论,共3个结论。
证明:
①∵∠CDA=∠BCA=90°,∠A=∠A
∴△CAD∽△BAC
∴AC/AB=AD/AC
∴AC²=AD·AB.
②∵∠BDC=∠BCA=90°,∠B=∠B
∴△BCD∽△BAC
∴BC/AB=BD/BC
∴BC²=BD·AB
③∵∠ACD+∠BCD=90°,∠CBD+∠BCD=90°
∴∠ACD=∠CBD,又∵∠CDA=∠BDC=90°
∴△CAD∽△BCD
∴CD/BD=AD/CD
∴CD²=AD·BD