函数周期公式推导过程（函数的周期性/奇偶性/对称性如何转化?）

一:函数的周期/奇偶/对称定义(复习)

1.周期性: 存在一个T,使得f(x)=f(x+T),那么T是函数的周期,或者称为f(x)具备周期性.

要点: 要理解这个T,这个T并不是一个值,可以是N个值,只要满足f(x)=f(x+T)等式成立就可以.

比如 f(x)=f(x+T)= f(x+2T)=f(x+nT)=f(x-T),你也可以叫nT为函数的周期,所以就会引出最小正周期的概念,若在一系列的nT过程中,最小的一个nT 满足nT>0,则称为nT为f(x)的最小正周期

也可以写作|T|min 为函数f(x)最小正周期

2.满足:f(x)=正/负 f(x+T),f(x)都是周期函数,推导过程见(三)

2.函数的奇偶性: x满足定义域,则对于定义域上的任意x

f(x)+f(-x)=0 (奇函数) (特别 令x=0,若x=0,f(0)有意义,f(0)=0)

f(x)=f(-x) (偶函数)

3: 函数对称性: x满足定义域,则对于定义域上的任意x

轴对称: f(x+a)=f(a-x) 或 f(x)=f(2a-x) (f(x)关于x=a对称)

中心对称: f(x+a)+f(a-x)=2b 或 f(x)+f(2a-x)=2b ( f(x)关于 (a,b)中心对称)

证明过程见之前文章: 函数对称性推导

二: 函数对称性与奇偶性互相推导过程

轴对称: 令a=0,f(x)关于x=a=0(y轴)对称,我们可以得到 f(x+0)=f(0-x),偶函数成立.

同理f(x)为偶函数,也可以反推f(x)关于x=a=0(y轴)对称

中心对称:令a=0,b=0,f(x)关于(0,0)对称,我们可以得到f(x+0)+f(0-x)=0 ,奇函数成立,因此奇函数关于(0,0)中心对称

同理f(x)为奇函数,也可以反推出f(x)关于(0,0)中心对称

总结: 函数对称性其实跟奇偶性能互相推导,且奇偶性只是对称性的一个特例

三: 函数成周期性的一个结论:

f(x)=- f(x+m)成立,f(x)也具备周期性

先看一个结论:周期一般表达:f(x)=f(x+T) ,方程左右都是正号

其实函数 :

f(x)=-f(x+m)..........

f(x+m)= - f(x) ....... (1), f(x)也是具备周期性的,

来证明下

(1)用x+m 替换x 得到

f(x+2m)=-f(x+m) (2)

而根据(1) 得到f(x+m)=-f(x))代入(2) 右边

f(x+2m)=f(x) 则证明 f(x+m)=-f(x) 或 f(x)=-f(x+m)

成立的时候, f(x) 也是具备周期性的,周期T=2m.

总结归纳:

其实只要f(x)=+-f(x+m), f(x)都具备周期性, 只不过当f(x)前正号的时候周期是m,负号的时候周期是2m

四: 函数奇偶性对称性与周期转换:

已知f(x+m)为偶函数,f(x+n)为奇函数,验证f(x)是否有周期?

(1)f(x+m)=f(m-x) ( f(x+m)偶函数,)

(2) f(x+n)+f(n-x)=0 (f(x+n)为奇函数)

证明: 由(1) 用x-m代x: f(x)=f(2m-x)

由(2) 用x-n代x: f(x)=-f(2n-x)

如果我们能证明f(x)=-f(x+t),就可以利用3的结论来证明f(x)具备周期性,

目测观察只有从(2)获得的结论最接近我们的期望.

则转化成要证明: f(x)= - f(2n-x)=-f(x+t) ...................(3)

2n-x 里 x前是负号,只能通过偶函数f(x)()里化负为正的能力将其转化成正号,且不改变f(x)外面的正负性,为了将f(2n-x)里化成f(x+t)形式,

可以尝试将2n-x-m 替换x 代入(1) 偶函数

f(2n-x+-m+m)=f(m-(2n-x-m))

整理得到

f(2n-x)=f(x+2(m-n)) ...............(4)

在跟(3) 进行对比分析:得到 f(x)=-f(2n-x)=-f(x+2(m-n))=-f(x+t)

于是: f(x)=- f(x+t) ,t=2(m-n) ,综合三的结论

我们得到f(x)是一个周期函数,周期T=2t=4(m-n),所以f(x)是周期函数,且f(x)是从其奇偶函数变换而来.

最后归纳总结:

周期函数: +f(x+T)=f(x) 周期是T,但是 f(x)=-f(x+T)也是周期函数,周期是2T.

只要是满足f(x)=+/- f(x+T)成立的函数,都是周期函数

周期函数: 可以从函数的奇偶性进行推导而来,通过变换成f(x)=+/-f(x+T) 来证明

求的了函数的周期,可以方便我们求函数的具体值